Die kleinste positive ganze Zahl, die dies erfüllt, ist \( 3 \) (wenn \( k = 0 \)), und die Folge setzt sich fort als \( 3, 10, 17, 24, \ldots \). Dies ist eine arithmetische Folge mit dem ersten Glied \( a = 3 \) und der gemeinsamen Differenz \( d = 7 \).

["Die kleinste positive ganze Zahl, die die gegebene arithmetische Folge bildet: Startwert 3, Differenz 7", "Wenn man eine einfache, aber faszinierende mathematische Folge betrachtet, taucht immer wieder die arithmetische Progression mit dem ersten Glied ( a = 3 ) und der gemeinsamen Differenz ( d = 7 ) auf. Das erste Glied ist dabei ( 3 ), und die Folge setzt sich fort als:\n[\n3,\ 10,\ 17,\ 24,\ \ldots\n]\nDiese einfache Regel verbirgt eine elegante mathematische Struktur – und zeigt gleichzeitig eine überraschende Eigenschaft: Die kleinste positive ganze Zahl, die diese Bedingung erfüllt, ist eindeutig ( 3 ), wenn der spezielle Fall ( k = 0 ) betrachtet wird.", "### Was ist eine arithmetische Folge?", "Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der jedes Glied durch Hinzufügen einer konstanten Differenz ( d ) zum vorherigen Glied entsteht. Die allgemeine Formel lautet:\n[\na_k = a + (k-1) \cdot d\n]\nmit ( a ) als erstem Glied und ( d ) als Differenz zwischen aufeinanderfolgenden Elementen. Für die gegebene Folge gilt:\n[\na = 3,\quad d = 7\n]\nDaher lautet das allgemeine Glied:\n[\na_k = 3 + (k-1) \cdot 7 = 3 + 7k - 7 = 7k - 4\n]", "### Identifikation der Folge", "Setzt man ( k = 1, 2, 3, \ldots ), erhält man:\n- ( k = 1 ): ( 7(1) - 4 = 3 )\n- ( k = 2 ): ( 7(2) - 4 = 10 )\n- ( k = 3 ): ( 7(3) - 4 = 17 )\n- ( k = 4 ): ( 7(4) - 4 = 24 )", "Und so entsteht genau die gegebene Zahlenfolge. Somit ist ( 3 ) das erste – und eindeutig kleinste – Element dieser arithmetischen Reihe, wenn die Bedingung ( k = 0 ) (oder der Ausgangspunkt als Startwert) berücksichtigt wird.", "### Eine besondere Eigenschaft der Null", "Das Jump zu ( k = 0 ) als Ausgangspunkt zeigt eine interessante Nuance:", "- Für ( k = 0 ) definiert man formal ( a_0 = 3 ).\n- Entsprechend der Formel ( a_k = 7k - 4 ) ergibt sich:\n [\n a_0 = 7(0) - 4 = -4\n ]\n Doch diese Zahl steht nicht in der beobachteten Folge – stattdessen beginnt die sichtbare Folge erst bei ( k = 1 ).", "Die Idee, dass ( 3 ) als kleinste positive ganze Zahl der Folge gilt, war also vor allem für ( k \geq 1 ) korrekt, wobei der Startwert ( a = 3 ) und ( d = 7 ) die Voraussetzung bildet.", "### Fazit: Eine einfache Regel, tiefe Bedeutung", "Die Folge ( 3, 10, 17, 24, \ldots ) ist ein klares Beispiel für eine arithmetische Progression mit ganz unterschiedlichen Anwendungen in der Zahlentheorie, Kombinatorik und Diskreten Mathematik.\nDie kleinste positive ganze Zahl der Folge ist zweifellos ( 3 ), da sie das erste Element bildet und allen mathematischen Definitionen entspricht.\nBereits bei ( k = 0 ) ergibt die Formel ( a_0 = -4 ), was zeigt, dass nicht jedes ( k ) ein Glied der sichtbaren numerischen Folge garantiert.", "So verbindet eine einfache Zahlreihe tiefere mathematische Zusammenhänge – und bietet zugleich einenklaren Einblick in die Struktur arithmetischer Folgen.", "---", "Schlüsselbegriffe für SEO:\narithmetische Folge, gemeinsame Differenz 7, kleinste positive ganze Zahl, mathematische Folge 3, 10, 17, Formel ( a_k = 7k - 4 ), Startwert 3, differenz 7, Zahlenreihe, mathematische Eigenschaften", "---", "Meta-Description:\nEntdecken Sie die arithmetische Folge ( 3, 10, 17, 24, \ldots ) mit erster Glied 3 und Differenz 7. Das kleinste positive Glied ist 3 – mathematisch präzise und lehrreich erklärt."]