La somme des \( n \) premiers termes d'une suite arithmétique est de 155, et le premier terme est 5 avec une raison de 4. Quelle est la valeur de \( n \)?

["Titre : Calculer ( n ) : Somme des ( n ) premiers termes d’une suite arithmétique de raison 4 et premier terme 5 (Somme = 155)", "---", "### Introduction", "La somme des termes d’une suite arithmétique est un concept fondamental en mathématiques, particulièrement utile dans les problèmes de suites numériques. Aujourd’hui, nous allons résoudre un exercice classique : déterminer le nombre de termes ( n ) d’une suite arithmétique lorsque sa somme est connue, ainsi que le premier terme et la raison.", "---", "### Données du problème", "- Somme des ( n ) premiers termes ( S_n = 155 )\n- Premier terme ( a_1 = 5 )\n- Raison ( r = 4 )\n- Trouver : ( n )", "---", "### Formule de la somme d’une suite arithmétique", "La somme des ( n ) premiers termes d’une suite arithmétique est donnée par la formule :", "[\nS_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n - 1)r\right)\n]", "---", "### Étape 1 : Poser l’équation", "On remplace les valeurs connues dans la formule :", "[\n155 = \frac{n}{2} \left(2 \ imes 5 + (n - 1) \ imes 4\right)\n]", "Simplifions l’expression entre parenthèses :", "[\n155 = \frac{n}{2} \left(10 + 4(n - 1)\right)\n]", "[\n155 = \frac{n}{2} \left(10 + 4n - 4\right) = \frac{n}{2} \left(4n + 6\right)\n]", "---", "### Étape 2 : Simplifier l’équation", "Multiplions les deux membres par 2 pour éliminer la fraction :", "[\n2 \ imes 155 = n (4n + 6)\n]", "[\n310 = 4n^2 + 6n\n]", "Regroupons tous les termes du même côté :", "[\n4n^2 + 6n - 310 = 0\n]", "---", "### Étape 3 : Résoudre l’équation quadratique", "Divisons toute l’équation par 2 pour simplifier :", "[\n2n^2 + 3n - 155 = 0\n]", "Utilisons la formule quadratique :", "[\nn = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\n]", "Avec ( a = 2 ), ( b = 3 ), ( c = -155 ) :", "[\nn = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \ imes 2 \ imes (-155)}}{2 \ imes 2}\n]", "[\nn = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 1240}}{4} = \frac{-3 \pm \sqrt{1249}}{4}\n]", "Or, notons que ( \sqrt{1249} ) n’est pas un carré parfait. Vérifions nos calculs…", "---", "### Vérification et simplification correcte", "Reprenons l’équation initiale avec précaution :", "[\n155 = \frac{n}{2} (10 + 4(n - 1)) = \frac{n}{2} (4n + 6)\n]", "Puis :", "[\n155 = \frac{n(4n + 6)}{2} = 2n^2 + 3n\n]", "Donc :", "[\n2n^2 + 3n - 155 = 0\n]", "Calculons le discriminant :\n[\n\Delta = 3^2 + 4 \ imes 2 \ imes 155 = 9 + 1240 = 1249\n]", "Mais 1249 = 29 × 43 → pas un carré parfait. Cela indique une erreur ?", "Réexaminons l’équation initiale :", "[\nS_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)r] = 155\n]", "Substituons ( a_1 = 5 ), ( r = 4 ) :", "[\nS_n = \frac{n}{2} [10 + 4(n - 1)] = \frac{n}{2} (4n + 6) = 155\n]", "Donc :", "[\n\frac{n(4n + 6)}{2} = 155 \Rightarrow 2n^2 + 3n = 155 \Rightarrow 2n^2 + 3n - 155 = 0\n]", "Ce calcul est correct. Les racines sont :", "[\nn = \frac{-3 \pm \sqrt{1249}}{4}\n]", "Or, ( \sqrt{1249} \approx 35.34 ), donc :", "[\nn = \frac{-3 + 35.34}{4} \approx \frac{32.34}{4} \approx 8.085\n]", "Mais ( n ) doit être un entier naturel ≥ 1.", "Ça semble 'manquer' ! Vérifions si la somme est bien 155 avec un ( n ) entier.", "Testons ( n = 7 ) :\n[\nS_7 = \frac{7}{2} [2 \ imes 5 + 6 \ imes 4] = \frac{7}{2} [10 + 24] = \frac{7 \ imes 34}{2} = 7 \ imes 17 = 119\n]", "( n = 8 ) :\n[\nS_8 = \frac{8}{2} [10 + 7 \ imes 4] = 4 [10 + 28] = 4 \ imes 38 = 152\n]", "( n = 9 ) :\n[\nS_9 = \frac{9}{2} [10 + 8 \ imes 4] = \frac{9}{2} (10 + 32) = \frac{9 \ imes 42}{2} = 9 \ imes 21 = 189\n]", "Donc ( 152 < 155 < 189 ). Aucun entier ( n ) ne convient.", "---", "### Correction et réexamen du problème", "Le fait que la somme ne tombe pas à un entier suggère une incohérence — sauf si l’énoncé contient une erreur.", "Mais supposons que la somme soit 152, comme obtenu pour ( n = 8 ) : alors ( S_8 = 152 ), proche mais pas 155.\nSi la somme est 189, c’est pour ( n = 9 ).", "À moins que l’énoncé ne soit exact, vérifions s’il existe une valeur entière.", "Essayons la formule avec un ( n ) entier approchant.", "Mais nous avons une équation quadratique dont la discriminant n’est pas carré. Donc pas de solution entière.", "---", "### Conclusion : réévaluer les données", "Cependant, dans un contexte pédagogique ou d’exercice, il pourrait exister une erreur d’entrée. Supposons que la somme soit 152, ce qui correspond à ( n = 8 ), ou 189 pour ( n = 9 ). Mais 155 ne donne pas d’entier.", "Toutefois, si le problème est exact, alors aucune solution entière ( n ) n’existe.", "Mais pour réponse complète, résolvons l’équation librement :", "[\nn = \frac{-3 + \sqrt{1249}}{4}\n]", "Ça donne ( n \approx 8.08 ), donc non entier.", "---", "### Conclusion finale", "La valeur de ( n ) n’existe pas en tant qu’entier si la somme est strictement 155 avec un premier terme 5 et raison 4.\nCependant, si l’on suppose une erreur d’arrondi ou de saisie, alors la valeur approchée la plus proche est ( n \approx 8.08 ), mais aucune solution entière valide.", "En mathématiques précises, un tel problème doit avoir une somme compatible avec une suite arithmétique à raison constante et entier ( n ).", "---", "Astuce : Pour un exercice corrigé, une somme possible pourrait être 152 (pour ( n=8 )) ou 189 (pour ( n=9 )).\nVérifier les données est essentiel.", "---", "Mots-clés SEO : somme d’une suite arithmétique, calcul ( n ), raison 4, premier terme 5, formule somme, exercice mathématiques, résolution équation quadratique", "---", "Source : Définition somme suite arithmétique, Résolution quadratique, Problèmes classiques mathématiques.", "---", "> Recommandation : Toujours vérifier la cohérence d’une suite arithmétique donnée avant de calculer ( n ). Si une somme ne permet pas ( n ) entier, il faut revoir les paramètres."]