En branchant \( S_n = 155 \), \( a = 5 \), et \( d = 4 \): \( 155 = \frac{n}{2} [2(5) + (n - 1)4] \).

["### Résoudre l'équation d'une suite arithmétique : ( 155 = \frac{n}{2} [2(5) + (n - 1)4] )", "Si vous vous trouvez face à l’équation de la somme des termes d’une suite arithmétique, comme :", "[\n155 = \frac{n}{2} \left[2a + (n - 1)d\right]\n]", "avec ( a = 5 ) et ( d = 4 ), il s’agit de trouver le nombre de termes ( n ) qui fait que la somme est égale à 155.", "---", "### Étape 1 : Poser l’équation", "Avec les valeurs données, remplaçons ( a ) et ( d ) dans la formule :", "[\n155 = \frac{n}{2} \left[2(5) + (n - 1) \cdot 4\right]\n]", "Calculons l’expression entre crochets :", "[\n155 = \frac{n}{2} \left[10 + 4(n - 1)\right]\n]", "---", "### Étape 2 : Simplifier l’expression", "Développons le terme interne :", "[\n10 + 4(n - 1) = 10 + 4n - 4 = 4n + 6\n]", "L’équation devient :", "[\n155 = \frac{n}{2} (4n + 6)\n]", "Multiplions les deux côtés par 2 pour éliminer la fraction :", "[\n310 = n(4n + 6)\n]", "---", "### Étape 3 : Formuler l’équation quadratique", "Développons le membre de droite :", "[\n310 = 4n^2 + 6n\n]", "Réorganisons toutes les valeurs du même côté pour obtenir une équation du second degré standard :", "[\n4n^2 + 6n - 310 = 0\n]", "---", "### Étape 4 : Résoudre l’équation quadratique", "Utilisons la formule quadratique ( n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ), avec ( a = 4 ), ( b = 6 ), ( c = -310 ) :", "Calculons le discriminant :", "[\n\Delta = 6^2 - 4(4)(-310) = 36 + 4960 = 4996\n]", "Calculons la racine carrée :", "[\n\sqrt{4996} \approx 70.68\n]", "Donc :", "[\nn = \frac{-6 \pm 70.68}{8}\n]", "Calculons les deux solutions approximatives :", "- ( n = \frac{-6 + 70.68}{8} = \frac{64.68}{8} \approx 8.085 )\n- ( n = \frac{-6 - 70.68}{8} = \frac{-76.68}{8} \approx -9.585 )", "Puisque ( n ) doit être un entier positif, cherchons les valeurs exactes.", "---", "### Étape 5 : Vérifier les valeurs entières proches", "Revenons à l’équation avant simplification :", "[\n155 = \frac{n}{2} (10 + 4(n - 1)) = \frac{n}{2}(4n + 6) = n(2n + 3)\n]", "On cherche un entier ( n ) tel que :", "[\nn(2n + 3) = 155\n]", "Testons quelques entiers :", "- ( n = 7 ) : ( 7(14 + 3) = 7 \cdot 17 = 119 )\n- ( n = 8 ) : ( 8(16 + 3) = 8 \cdot 19 = 152 )\n- ( n = 9 ) : ( 9(18 + 3) = 9 \cdot 21 = 189 )", "On survient que ( n = 8 ) donne 152, proche de 155, pas exact. Mais vérifions une erreur possible.", "---", "### Correction : Recalcul précis", "Revenons à ( 155 = \frac{n}{2}(10 + 4n - 4) = \frac{n}{2}(4n + 6) = n(2n + 3) )", "On résout donc :", "[\n2n^2 + 3n - 155 = 0\n]", "Discriminant :\n[\n\Delta = 3^2 - 4(2)(-155) = 9 + 1240 = 1249\n]", "(\sqrt{1249} \approx 35.34)", "Alors :", "[\nn = \frac{-3 \pm 35.34}{4}\n]", "- ( n = \frac{32.34}{4} \approx 8.59 )\n- ( n = \frac{-38.34}{4} \approx -9.59 )", "Aucune solution entière exacte ?", "---", "### Étape 6 : Reformuler l’équation initiale correctement", "Revérifions la substitution :\n( a = 5 ), ( d = 4 ), donc terme général ( a + (n-1)d = 5 + 4(n - 1) = 5 + 4n - 4 = 4n + 1 )", "Le correction fondamentale :\n[\nS_n = \frac{n}{2} [2a + (n-1)d] = \frac{n}{2} [2(5) + (n-1)(4)] = \frac{n}{2} (10 + 4n - 4) = \frac{n}{2}(4n + 6) = n(2n + 3)\n]", "Donc la somme correcte est ( S_n = n(2n + 3) )", "Posons égale à 155 :", "[\nn(2n + 3) = 155\n]", "Testons encore plus soigneusement :", "- ( n = 7 ) → ( 7(14 + 3) = 7×17 = 119 )\n- ( n = 8 ) → ( 8(16 + 3) = 8×19 = 152 )\n- ( n = 9 ) → ( 9(18 + 3) = 9×21 = 189 )", "Pas de solution entière pour 155 ?", "---", "### Constater une cohérence mathématique", "Le polynôme ( n(2n + 3) = 155 ) n’a pas de solution entière, car 155 n’est pas un résultat standard d’une suite arithmétique de premier terme 5 et raison 4.", "Cependant, si l’énoncé est correct, on peut proposer la solution approximative suivante :", "---", "### Conclusion : Résolution numérique", "L’équation ( n(2n + 3) = 155 ) mène à ( 2n^2 + 3n - 155 = 0 ), dont solution approximative :", "[\nn \approx \frac{-3 + \sqrt{1249}}{4} \approx \frac{-3 + 35.34}{4} \approx 8.085\n]", "Comme ( n ) doit être un entier, la somme de 155 ne correspond à aucun terme complet d’une suite arithmétique de ( a = 5 ), ( d = 4 ). Possible vérification des données.", "---", "### Astuce SEO : Optimisation pour mots-clés", "Mots-clés principaux :\n- Résolution somme suite arithmétique\n- Équation ( S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] )\n- Trouver ( n ) pour ( S_n = 155 )\n- Suite arithmétique résolution exercice", "Suggestion :\nCet article explique comment résoudre une équation clé en mathématiques, souvent posée dans les devoirs sur les suites arithmétiques. Même si ( S_n = 155 ) avec ( a=5, d=4 ) ne donne pas un entier, cette méthode reste fondamentale. Parfait pour comprendre la formule, pas seulement pour trouver une valeur précise, mais aussi pour renforcer la compréhension des suites arithmétiques.", "---", "### Points clés à retenir", "- La somme d’une suite arithmétique : ( S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) )\n- Remplacer ( a ) et ( d ) dans l’équation\n- Transformer en équations quadratiques\n- Chercher des solutions entières ou interpréter des résultats approximatifs\n- Utiliser ces formules régulièrement dans les exercices de mathématiques élémentaires et collège/lycée", "---", "En résumé : Résoudre ( 155 = \frac{n}{2}[10 + 4(n - 1)] ) revient à résoudre ( n(2n + 3) = 155 ), donnant ( n \approx 8.085 ), sans solution entière. Vérifiez bien les données dans l’exercice : certains textes corrigent les valeurs pour obtenir une somme exacte (ex. ( S_n = 152 ) avec ( n = 8 ) est un cas classique).", "---", "Si vous avez besoin de corriger une suite exacte ou chercher un autre type de problème lié, n’hésitez pas !"]